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圆群

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数学里,圆群标记为T,为所有模为1之复数所组成的乘法,即在复平面上的单位圆

圆群为所有非零复数所组成之乘法群C×子群。由于C×可交换T也是可交换的。

圆群的符号T源自于TnnT直积)几何上是个n-环面的此一事实。而圆群即正是一个1-环面。

基本介绍

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圆群上的加法

思考圆群的一种方法是描述其“角度”如何相加,其中只有0至360度的角度是被允许的。例如,右边的图表描述著如何将150度加上270度。其答案应该是150度+270度=420度,但以圆群的观点来考虑,而必须要“忘记”扫过一整个圆的事实。因此,必须以360度来调整其答案,如此将会得出420度−360度=60度之答案。

另一种描述方法是使用原本的加法,但数字只限定在0和1之间。要完成此一描述,必须丢掉小数点前的数位。例如,当在算0.784+0.925+0.446时,其答案应该是2.155,但这里必须丢掉前面的2,因此其答案(在圆群中)会是0.155。

拓扑与解析结构

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圆群不只是一个抽象代数群而已。当将其视为复平面的子空间时,其会有一个自然的拓扑。因为乘法和反演是在C×上的连续函数,圆群会有一拓扑群的结构。更甚地,当单位圆是复平面上的一个闭子集时,圆群也会是C×(其自身被视为是一拓扑群)的闭子群。

更多地,因为圆是一个一维实流形且其乘法和反演为圆上的圆变映射,这给了圆群一个一维李群的结构。实际上,以同构来分,其为唯一的一个同构于Tn的一维紧致连通李群

同构

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圆群在数学里可承现出很多种不同的类型。下面列出较常见的几种类型,并证明

由所有一阶酉矩阵(即单位复数)所组成之群显然与圆群相对应;其酉的条件即等价于其元素的模为1的条件。因此圆群会同构于第一个酉群U(1)。

纯虚数指数函数会产生一个由实数加法群R映射至圆群T上之群同态exp:RT,其映射为

其最后一个等式为欧拉公式。实数θ会对应到单位圆上由正x轴量起的角度。这个映射是一个同态,因为单位复数的乘法可以对应到角度的加法上:

此一指数映射很明显地是一个由R映射至T满射函数,但它不是单射。这个映射的为所有整数倍之集合。基于第一同构定理,会有着

调整一下尺度后,也可以说T同构于R/Z

若将复数视为二阶实矩阵(见复数),单位复数则会对应至有单位行列式的二阶正交矩阵上。具体地说,会有如下之对应关系

圆群因此会同构于特殊正交群SO(2)。此处有着一个单位复数之乘法的几何解释,即为复平面上的旋转,并且任何旋转都可表达成这种形式。

性质

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任何大于0之维度的紧致李群G都会有一个会同构于圆群的子群。这是指以对称的观点来思考,一“连续”作用的紧致对称群可以被表示成有一作用着的单参数圆子群;其在物理系统上的结果可以有如旋转不变性自发性对称破坏等例子。

圆群有许多个子群,但其纯紧致子群只由单位根所构成。

表示

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圆群的表示是很容易描述的。舒尔引理描述说一个阿贝尔群的所有不可约表示都是一维的。圆群是紧致的,任一表示都必须在内取值。因此,圆群的不可约表示只是个由圆群映射至其本身的同态。每一个如此的同态都会有下面的形式

这些表示都是等价的。表示 共轭

这些表示都只是圆群的特征标。而T特征标群明显为由所产生之无限循环群

圆群的不可约实数表示为(一维的)当然表示,且其表示

的值在SO(2)内。这里只有正整数n,因为表示会等价于

代数结构

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在此一章节中将不提及圆群的拓扑结构,而只专注于其代数结构。

圆群T是一个可除群。其挠子群是由所有n单位根所组成之集合,且会同构于Q/Z。可除群的结构定理表示T会同构于Q/Z和一串Q直积。这一串Q的数目必须为c连续势)为了使直积的势会是正确的。但cQ的直积会同构于RR如同是在Q上的c向量空间。因此

同构

也可以以同样的方式证明,因为C×也是其挠子群和T的挠子群相同的可除阿贝尔群。

另见

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