各种底数的对数函数图像:红色 函数底数是“e ”, 绿色 函数底数是2 ,蓝色 函数底数是0.5 ,刻度是半个单位。[ 注 1]
在数学中,对数 (英语:logarithm )是幂运算 的逆运算。
当
x
=
β
y
{\displaystyle x=\beta ^{y}}
时,则有
y
=
log
β
x
{\displaystyle y=\log _{\beta }x\!}
其中
β
{\displaystyle \beta }
是对数的底 (也称为基数),而
y
{\displaystyle y}
就是
x
{\displaystyle x}
(对于底数
β
{\displaystyle \beta }
)的对数,
x
{\displaystyle x}
也称为真数 。
底数
β
{\displaystyle \beta }
的值在实数范围内常取
e
{\displaystyle e}
、 10、2等,但一定不能是1或0[ 注 2]
当
x
{\displaystyle x}
和
β
{\displaystyle \beta }
进一步限制为正实数 的时候,对数是唯一的实数。
例如,因为
3
4
=
3
×
3
×
3
×
3
=
81
{\displaystyle 3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81}
,
我们可以得出
4
=
log
3
81
{\displaystyle 4=\log _{3}81\!}
,
用日常语言说,即“81以3为底的对数是4”。 这个意思就是说,81是3的4次方。
15世纪时,法国数学家尼古拉·丘凯 和德国数学家米夏埃尔·施蒂费尔 在开展研究工作时产生了发展对数的思想,他们,尤其是后者,对等差数列和等比数列 的关系作了一些研究。但他们并没有使其得到更进一步的发展。[ 1]
一般认为对数于16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔 男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉 发明。比尔吉曾担任过著名天文学家开普勒 的助手,因此会经常接触到复杂的天文计算,他也因此产生了化简数值计算的想法。[ 注 3] 纳皮尔是一位苏格兰贵族,对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角 计算的方法,他也产生了发展对数的想法。1614年,他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》[ 2] 上发布了自己的对数表,相较比尔吉早了6年。纳皮尔发明的纳皮尔算筹 用加减法代替了乘除法,成功简化了乘除法的运算,他的对数被后人称为纳皮尔对数,记法为Nap·logx。[ 1]
1624年,英国数学家亨利·布里格斯 书籍《对数算术》成功出版,书中写有14位常用对数表。布里格斯率先采用了以10为底的常用对数 ,而现在它已通用。他还制作了正弦和正切的对数表。荷兰数学家兼出版商在布里格斯的基础上加以改进,他出版的数个对数表在欧洲迅速普及起来。[ 1]
17世纪中叶(清朝初年),中国数学家薛凤祚 和波兰传教士穆尼阁 合作完成了中国最早的对数著作《比例对数表》(又名《历学会通》),对数自此传入中国。[ 1] [ 3] 此书称真数为“原数”,对数为“比例数”。而《数理精蕴》中则称作对数比例:“对数比例乃西士若往·纳白尔所作,以借数与真数对列成表,故名对数表。”中国因此普遍称之为“对数”。
对数对科学的进步有所贡献,特别是对天文学 ,使某些繁难的乘法计算转换为加法计算。在计算器和计算机发明之前,对数长期用于测量、航海、和其他应用数学 分支中。
对数符号
log
{\displaystyle \log }
出自拉丁文logarithmus,最早由1632年意大利 数学家卡瓦列里 所使用。纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词,并未作简化。1624年,开普勒 才把对数符号简化为
log
{\displaystyle \log }
,奥特雷德 在1647年也用简化了的Log。
1893年,皮亚诺 用
ln
x
{\displaystyle \ln x}
及
lg
x
{\displaystyle \lg x}
分别表示以
e
{\displaystyle e}
为底的对数和以10为底的对数。1902年,施托尔茨 等人以
a
log
.
b
{\displaystyle a\log .b}
表示以
a
{\displaystyle a}
为底的
b
{\displaystyle b}
的对数。
20世纪初,形成了对数的现代标准表示
log
α
N
{\displaystyle \log _{\alpha }\mathrm {N} }
,为了使用方便,自然对数
ln
N
{\displaystyle \ln N}
的记法得到了普遍认可。
函数
log
α
x
{\displaystyle \log _{\alpha }x}
依赖于
α
{\displaystyle \alpha }
和
x
{\displaystyle x}
二者,但是术语对数函数 在标准用法中用来称呼形如
log
α
x
{\displaystyle \log _{\alpha }x}
的函数,在其中底数
α
{\displaystyle \alpha }
是固定的而只有一个参数
α
{\displaystyle \alpha }
。[ 注 4]
对数函数图像和指数函数图像关于直线
y
=
x
{\displaystyle y=x}
对称,互为逆函数 。
对数函数的性质有:
都过
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
点;
x
=
0
{\displaystyle x=0}
即y轴为其垂直渐近线。
定义域 为
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
,值域 为
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
;
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
,在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
上是增函数;
1
>
α
>
0
{\displaystyle 1>\alpha >0}
时,在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
上是减函数。
当
0
<
α
<
e
−
e
{\displaystyle 0<\alpha <e^{-e}}
时和
y
=
α
x
{\displaystyle y=\alpha ^{x}}
交于三点;
e
−
e
<
α
<
1
{\displaystyle e^{-e}<\alpha <1}
时交于一点;
1
<
α
<
e
1
e
{\displaystyle 1<\alpha <e^{\frac {1}{e}}}
时交于两点;
α
=
e
1
e
{\displaystyle \alpha =e^{\frac {1}{e}}}
时交于一点;
α
>
e
1
e
{\displaystyle \alpha >e^{\frac {1}{e}}}
时则无交点。
如果
n
{\displaystyle n}
是自然数 ,
β
n
{\displaystyle {\beta }^{n}}
表示等于
β
{\displaystyle \beta }
的
n
{\displaystyle n}
个因子的乘积 :
β
n
=
β
×
β
×
⋯
×
β
⏟
n
{\displaystyle {\beta }^{n}=\underbrace {\beta \times \beta \times \cdots \times \beta } _{n}}
。
但是,如果
β
{\displaystyle \beta }
是不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域 中的任何实数
n
{\displaystyle n}
(参见幂 )。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数
β
{\displaystyle \beta }
,有一个对数函数 和一个指数函数 ,它们互为反函数 。
对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机 之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文 、工程 、航海 和测绘 等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
最常用做底数的是e 、10和2。
在数学分析 中,以
e
{\displaystyle e}
为底对数很常见。另一方面,以10为底对数在十进制 表示法中,手工计算很容易:[ 4]
log
10
10
x
=
log
10
10
+
log
10
x
=
1
+
log
10
x
.
{\displaystyle \log _{10}10x=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\ }
所以
log
10
x
{\displaystyle \log _{10}x}
表示正整数
x
{\displaystyle x}
的位数:数字的十进制位数是严格大于
log
10
x
{\displaystyle \log _{10}x}
的最小的整数。例如
log
10
1430
≈
3.15
{\displaystyle \log _{10}1430\approx 3.15}
,下一个整数是4,即1430的位数。
以2为底的对数常用于计算机科学,因为计算机中二进制很普及。当然上面的算法也可推广到二进制:严格大于
log
2
x
{\displaystyle \log _{2}x}
的最小整数是
x
{\displaystyle x}
在二进制下的位数。事实上经由简单推导即可得知,floor(logp x)+1 得到
x
{\displaystyle x}
在
p
{\displaystyle p}
进制下的位数:若
x
{\displaystyle x}
在
p
{\displaystyle p}
进制下有
n
{\displaystyle n}
位,则
p
n
−
1
≤
x
<
p
n
{\displaystyle p^{n-1}\leq x<p^{n}}
;而
p
{\displaystyle p}
是不小于 2 的正整数导致以其为底的
log
p
x
{\displaystyle \log _{p}x}
是增函数,故三边取对数得
n
−
1
≤
log
p
x
<
n
{\displaystyle n-1\leq \log _{p}x<n}
,取下整正好得到
n
−
1
{\displaystyle n-1}
。
下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域。许多学科都写
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
来代替
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x)}
,而
b
{\displaystyle b}
的值根据前后文可以确定。记号
b
log
(
x
)
{\displaystyle ^{b}\log(x)}
也出现过。[ 5] “ISO表示法”(ISO 31-11 )一列指定了ISO 推荐的表示方法。[ 6]
底数
b
{\displaystyle b}
log
b
x
{\displaystyle \log _{b}x}
的名称
ISO表示法
其它的表示方法
适用领域
2
二进制对数
lb
x
{\displaystyle \operatorname {lb} x}
[ 7]
log
x
{\displaystyle \log x}
、
lg
x
{\displaystyle \operatorname {lg} x}
计算机科学、信息论 、数学
e
{\displaystyle e}
自然对数
ln
x
{\displaystyle \ln x}
[ a]
log
x
{\displaystyle \log x}
(用于数学和许多程序设计语言 [ b] )
数学分析、物理学、化学统计学 、经济学 和其它工程领域
10
常用对数
lg
x
{\displaystyle \operatorname {lg} x}
log
x
{\displaystyle \log x}
(用于工程学、生物学、天文学)
多种工程学 领域 (见分贝 )、 对数表 、手持式计算器 、 光谱学
尽管有很多有用的恒等式,对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是
log
e
{\displaystyle \log _{e}}
和
log
10
{\displaystyle \log _{10}}
)的其他底数的对数。要使用其他底数
β
{\displaystyle \beta }
找到底数
α
{\displaystyle \alpha }
的对数:
log
α
x
=
log
β
x
log
β
α
{\displaystyle \log _{\alpha }x={\frac {\log _{\beta }x}{\log _{\beta }\alpha }}}
。
此外,这个结果蕴涵了所有对数函数(任意底数)都是相互类似的。所以用计算器计算对134217728底数2的对数:
log
2
134217728
=
ln
134217728
ln
2
=
27
ln
2
ln
2
=
27
{\displaystyle \log _{2}134217728={\frac {\ln 134217728}{\ln 2}}={\frac {27\ln 2}{\ln 2}}=27}
。
对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数 ,所以它们经常用在解积分 中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式
b
n
=
x
{\displaystyle b^{n}=x}
中,
b
{\displaystyle b}
可以从
x
{\displaystyle x}
的
n
{\displaystyle n}
次方根 ,
n
{\displaystyle n}
从
x
{\displaystyle x}
的
b
{\displaystyle b}
底数的对数,
x
{\displaystyle x}
从
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次的幂 来确定。参见对数恒等式 得到掌控对数函数的一些规则。
对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数,就会使特定运算更容易:
数的运算
幂的运算
对数恒等式
x
y
{\displaystyle \,xy}
m
+
n
{\displaystyle \,m+n}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
+
log
θ
y
{\displaystyle \,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y}
x
y
{\displaystyle {\frac {x}{y}}}
m
−
n
{\displaystyle \,m-n}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
−
log
θ
y
{\displaystyle \log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y}
x
y
{\displaystyle \,x^{y}}
m
n
{\displaystyle \,mn}
log
θ
x
y
=
y
log
θ
x
{\displaystyle \,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x}
x
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}}
m
n
{\displaystyle {\frac {m}{n}}}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
y
{\displaystyle \log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}}
这些关系使在两个数上的这种运算更快,在加法计算器 出现之前正确的使用对数是基本技能。 [来源请求]
从纯数学的观点来看,恒等式:
log
α
M
N
=
log
α
M
+
log
α
N
{\displaystyle \log _{\alpha }\mathrm {M} \mathrm {N} =\log _{\alpha }\mathrm {M} +\log _{\alpha }\mathrm {N} \!}
,
在两种意义上是基本的。首先,其他3个算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群 和所有实数的加法群 之间的同构 。
对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。
复对数计算公式:
log
c
+
d
i
(
a
+
b
i
)
=
ln
(
a
2
+
b
2
)
⋅
ln
(
c
2
+
d
2
)
+
4
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
+
[
2
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
ln
(
c
2
+
d
2
)
−
2
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
i
ln
2
(
c
2
+
d
2
)
+
4
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
2
{\displaystyle \log _{c+di}(a+bi)={\frac {\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot \ln \left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)+\left[2\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\ln \left(c^{2}+d^{2}\right)-2\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]i}{\ln ^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)^{2}}}}
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
e
c
2
ln
(
a
2
+
b
2
)
−
(
d
+
2
n
π
)
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
{
cos
[
c
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
+
1
2
(
d
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
+
i
sin
[
c
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
+
1
2
(
d
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
}
{\displaystyle (a+bi)^{\left(c+di\right)}=e^{{\frac {c}{2}}\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(d+2n\pi \right)\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]+i\sin \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]\right\}}
{
arctan
0
=
π
,
for
a
<
0
arctan
0
=
0
,
for
a
>
0
{\displaystyle {\begin{cases}\arctan 0={\pi },&{\mbox{for }}a<0\!\,\\\arctan 0=0,&{\mbox{for }}a>0\!\,\\\end{cases}}}
Z
=
{
k
,
n
}
{\displaystyle \mathbb {Z} =\{k,n\}}
自然对数函数的导数 是
d
d
x
ln
|
x
|
=
1
x
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}}
。
通过应用换底规则,其他底数的导数是
d
d
x
log
b
x
=
d
d
x
ln
x
ln
b
=
1
x
ln
b
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\log _{b}x={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\frac {\ln x}{\ln b}}={\frac {1}{x\ln b}}}
。
自然对数
ln
x
{\displaystyle \ln x\,}
的不定积分 是
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln x\,{\rm {d}}x=x\ln x-x+C,}
而其他底数对数的不定积分 是
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
ln
b
+
C
=
x
log
b
x
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}x\,{\rm {d}}x=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}{\frac {x}{e}}+C}
。
有一些级数 用来计算自然对数。[ 11] 最简单和低效的是:
ln
z
=
∑
n
=
1
∞
−
(
−
1
)
n
n
(
z
−
1
)
n
{\displaystyle \ln z=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-{(-1)}^{n}}{n}}(z-1)^{n}}
当
|
z
−
1
|
<
1
{\displaystyle |z-1|<1\!}
。
下做推导:
由
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
。
在两边积分得到
−
ln
(
1
−
x
)
=
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
⋯
{\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots }
ln
(
1
−
x
)
=
−
x
−
x
2
2
−
x
3
3
−
x
4
4
−
⋯
{\displaystyle \ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-\cdots }
。
设
z
=
1
−
x
{\displaystyle z=1-x\!}
并因此
x
=
−
(
z
−
1
)
{\displaystyle x=-(z-1)\!}
,得到
ln
z
=
(
z
−
1
)
−
(
z
−
1
)
2
2
+
(
z
−
1
)
3
3
−
(
z
−
1
)
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln z=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots }
更有效率的级数是基于反双曲函数 的
ln
z
=
2
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
(
z
−
1
z
+
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle \ln z=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}}
对带有正实部的
z
{\displaystyle z}
。
推导:代换
−
x
{\displaystyle -x}
为
x
{\displaystyle x}
,得到
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
。
做减法,得到
ln
1
+
x
1
−
x
=
ln
(
1
+
x
)
−
ln
(
1
−
x
)
=
2
x
+
2
x
3
3
+
2
x
5
5
+
⋯
{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2{\frac {x^{3}}{3}}+2{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots }
。
设
z
=
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle z={\frac {1+x}{1-x}}\!}
并因此
x
=
z
−
1
z
+
1
{\displaystyle x={\frac {z-1}{z+1}}\!}
,得到
ln
z
=
2
[
z
−
1
z
+
1
+
1
3
(
z
−
1
z
+
1
)
3
+
1
5
(
z
−
1
z
+
1
)
5
+
⋯
]
{\displaystyle \ln z=2\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right]}
。
例如,应用这个级数于
z
=
11
9
,
{\displaystyle z={\frac {11}{9}},}
得到
z
−
1
z
+
1
=
11
9
−
1
11
9
+
1
=
1
10
,
{\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}={\frac {{\frac {11}{9}}-1}{{\frac {11}{9}}+1}}={\frac {1}{10}},}
并因此
ln
1.
2
˙
=
1
5
(
1
+
1
3
⋅
100
+
1
5
⋅
10000
+
1
7
⋅
1000000
+
⋯
)
{\displaystyle \ln 1.{\dot {2}}={\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{3\cdot 100}}+{\frac {1}{5\cdot 10000}}+{\frac {1}{7\cdot 1000000}}+\cdots \right)}
=
0.2
⋅
(
1.0000000
⋯
+
0.00
3
˙
+
0.00002
+
0.000000
1
˙
4285
7
˙
+
⋯
)
{\displaystyle =0.2\cdot (1.0000000\dots +0.00{\dot {3}}+0.00002+0.000000{\dot {1}}4285{\dot {7}}+\cdots )}
=
0.2
⋅
1.00335
⋯
=
0.200670
⋯
{\displaystyle =0.2\cdot 1.00335\cdots =0.200670\cdots }
在这里我们在第一行的总和中提出了因数
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
。
对于任何其他底数
β
{\displaystyle \beta }
,我们使用
log
β
x
=
ln
x
ln
β
{\displaystyle \log _{\beta }x={\frac {\ln x}{\ln \beta }}}
。
多数计算机语言 把
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
用做自然对数,而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。
因为参数是浮点数,可以有用的做如下考虑:
浮点数值
x
{\displaystyle x}
被表示为尾数
m
{\displaystyle m}
和指数
n
{\displaystyle n}
所形成的
x
=
m
2
n
{\displaystyle x=m2^{n}}
。
因此
ln
(
x
)
=
ln
(
m
)
+
n
ln
(
2
)
{\displaystyle \ln(x)=\ln(m)+n\ln(2)}
。
所以,替代计算
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
,我们计算对某个
m
{\displaystyle m}
的
ln
(
m
)
{\displaystyle \ln(m)}
使得
1
≤
m
≤
2
{\displaystyle 1\leq m\leq 2}
。有在这个范围内的
m
{\displaystyle m}
意味着值
u
=
m
−
1
m
+
1
{\displaystyle u={\frac {m-1}{m+1}}}
总是在范围
0
≤
u
<
1
3
{\displaystyle 0\leq u<{\frac {1}{3}}}
内。某些机器使用在范围
0.5
≤
m
<
1
{\displaystyle 0.5\leq m<1}
内的尾数,并且在这个情况下
u
{\displaystyle u}
的值将在范围
−
1
3
<
u
≤
0
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}<u\leq 0}
内。在任何一种情况下,这个级数都是更容易计算的。
普通的正实数的对数一般化为负数和复数 参数,尽管它是多值函数 ,需要终止在分支点 0上的分支切割,来制作一个普通函数或主分支。复数
z
{\displaystyle z}
的(底数
e
{\displaystyle e}
)的对数是复数
ln
(
|
z
|
)
+
i
arg
(
z
)
{\displaystyle \ln(\left\vert z\right\vert )+i\arg(z)}
,这里的
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
是
z
{\displaystyle z}
的模 ,
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
是辐角 ,而
i
{\displaystyle i}
是虚单位 ;详情参见复对数 。
离散对数 是在有限群 理论中的相关概念。它涉及到解方程
b
n
=
x
{\displaystyle b^{n}=x}
,这里的
b
{\displaystyle b}
和
x
{\displaystyle x}
是这个群的元素,而
n
{\displaystyle n}
是指定在群运算上的幂。对于某些有限群,据信离散对数是非常难计算的,而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密 。
矩阵对数 是矩阵指数 的反函数。
对于不等于1的每个正数
b
{\displaystyle b}
,函数
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x)}
是从在乘法下的正实数的群 到在加法下(所有)实数的群的同构 。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间 的哈尔测度 。
20世纪的常用对数 表的一个实例。
在发明计算器 之前,使用对数意味着查对数表 ,它必须手工建立。
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