无穷

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

無窮（英語：infinity，又稱無限大），來自於拉丁文的「infinitas」，即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在科學、神學、哲學、數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。

在神學方面，根據書面記載無窮這個符號最早被用於某些秘密宗教，通常代表人類中的神性，而書寫此符號時兩圓的不對等代表人神間的差距，例如神學家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的無限能量是運用在無約束上，而不是運用在無限量上。在哲學方面，無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面，無窮又作為無限，很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。

在數學方面，無窮與下述的主題或概念相關：數學的極限、阿列夫數、集合論中的類、戴德金無限集合（英语：Dedekind-infinite set）、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中，無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念，而不是一個數。

最早關於無限的記載出現在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。書中說：「如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》（c. 400 BC）把數分作三類：「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分成三種階：

• 可計的：小的、中的與大的。
• 不可計的：接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的，以及無限也包括在內。
• 無限：接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿（Archimedes Palimpsest（英语：Archimedes Palimpsest）），在殘卷《方法》命題14中，發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分與集合論的手法，計算了兩組無窮大的集合，以求和的方法，證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

伽利略最先發現一個集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4, ...}跟子集平方數集{1, 4, 9, 16, ...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

無限大的符號是${\displaystyle \infty }$，其Unicode為U+221E ∞ INFINITY，在LaTeX中表示為\infty。

無限大的符號是1655年由約翰·沃利斯開始使用^[1][2]，在開始使用後，也用在數學以外的領域，例如現代神祕主義^[3]及符號學^[4]。

莱布尼茨是提出許多有關其在數學中應用的猜測。對莱布尼茨而言，无穷大和無窮小量都是理想的實體，和一般數值的本質不同，不過有類似的性質^[5][6]。

在實分析中，符號${\displaystyle \infty }$稱為「無窮大」，代表無界極限。${\displaystyle x\to +\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$超出任意給定值，${\displaystyle x\to -\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$最終小於任意給定值。

一函數積分的結果可能會是無限大，若對於所有的t，f(t) ≥ 0，則^[7]

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty }$ 意思是f(t) 在${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$的範圍內，其面積是無限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty }$意思是在f(t)以下的總面積無限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a}$意思是在f(t)以下的總面積是有限的，且總面積等於${\displaystyle a}$。

無窮大也可以用來描述無窮級數：

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a}$意思是無窮級數的和會收斂到某一定值${\displaystyle a}$。
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty }$意思是無窮級數的和會发散。

若將標記為${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$的點加入到實數組成的拓撲空間，就產生實數集的「兩點緊致化」。再加入代數屬性，就得到了扩展的实数轴。也可將${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$作為一個點，記作${\displaystyle \infty }$，並得到實數的「一點緊致化」，也就是實射影線（英语：Real projective line）。射影幾何在平面幾何上引入無窮遠線，在高維上也有類似概念。

在複變分析中符號${\displaystyle \infty }$是指沒有正負號的极限值。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$是指x的大小 ${\displaystyle |x|}$會超過任意給定的數值。可以在複數平面上加上无穷远点，變成一個拓扑空间，即為複數平面的一點紧化。若完成後，所得的平面是一維的复流形或黎曼曲面，稱為黎曼球面。也可以定義在其上的代數運算（不過有一個例外，無限大不能和本身相加）。另一方面，有無限大表示可以除以零，而對於任何不為0的複數z，${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty }$，因此可以將亚纯函数對映到黎曼球面上，只要將極點對應到无穷远点${\displaystyle \infty }$即可。複變函數的定義域也可以加入无穷远点，例如莫比乌斯变换的函數。

一般講無窮指的都是無窮大，但是無窮小也是一種無窮。通過${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$的映射即可把無窮大映射為無窮小。在微積分中，常用高階無窮小的概念。

無窮遠點是一個加在實數軸上後得到實射影直線${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$的點。

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出，對應於不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的「無窮」。

這裏比較不同的無窮的「大小」的時候，唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷，而拋棄了歐幾里得「整體大於部分」的看法。例如整數集和自然數集由於可以建立一一對應的關係，它們就具有相同的基數。

例如，

• 可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為${\displaystyle \aleph _{0}}$（阿列夫零）。
• 比可數集合「大」的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的冪集相同，為${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$。
• 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的冪集，可以證明超窮基數的個數是無窮的。然而有趣的是，超窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」，它不能對應於一個基數，否則會產生某種形式的康托爾悖論。

無限維的空間常用在幾何學及拓扑学中，尤其是在分類空間（英语：classifying space），也就是Eilenberg−MacLane空間（英语：Eilenberg−MacLane space）。常見的例子包括無限維的複射影空間（英语：complex projective space）K(Z,2)，以及無限維的實射影空間K(Z/2Z,1)。

分形的結構可以重覆的放大，分形可以無限次的放大，但不會變的圓滑，而且仍維持原有的結構，分形的周長是無限的，有些的面積無限，但有些的面積卻是有限。像科赫曲線就是有無限周長和有限面積的例子。

利奧波德·克羅內克懷疑無限的概念，也懷疑1870年代及1880年代時數學家使用無限的方式。這種懷疑主義形成一種稱為有限主義的數學哲學，是屬於數學結構主義及數學直覺主義中的一種極端形式^[8]。

在物理上，實數的近似會用在連續量（英语：Continuum (theory)）的量測上，自然數的近似會用在離散的量測上。因此科學家假設沒有可觀察量會到無窮的數值^{[來源請求]}，这是因为科学家很自然的，事实上已经是默认的接受了这样的事情：即在真实的物理场景里，是不存无穷大的可观测物理量的。例如在擴展的實數軸上取一個無窮的值，或是需要計算某個無窮次事件的次數。因此會預設沒有任何物體會有無窮的質量或是能量。有些事物的概念和無限有關，例如無限平面波，但現今尚沒有方法可以由實驗產生無限平面波^[9]。

IEEE 754浮點數標準中定義了正無限大及負無限大，定義為溢位、除以零或其他異常程序的結果。

像Java^[10]及J語言^[11]等程式語言允許在程式中直接用類似常數的方式存取正負無限大。正負無限大可以作為最大元，因為比所有其他的數都大（或是小）。正負無限大也可以做為像排序、搜尋或窗函数等演算法中的哨兵值（英语：sentinel value），找到這個值時可以結束計算。

在一些沒有最大或最小元素，但允許關係運算子多載的程式語言中，程式設計師也可以「創建」最大及最小元素。若語言不允許直接存取最大或最小元素，但有浮點數的形態，也可以用特定的運算產生正負無限大，再進行其他處理。

微软的 Visual Studio 用无穷大符号作为图标。

透视藝術使用了消失点或是無窮遠點的概念．也就是放在觀察者無窮遠處的一個點。因此畫家可以繪製有現實感空間及距離的作品^[12]。藝術家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就常將無窮的概念用在他的作品中。

認知科學家喬治·萊考夫將數學及科學中無限的概念視為一個隱喻。這個觀點是基於簡單的無限隱喻，定義為一直遞增的數列<1,2,3,...>。

無限的符號常浪漫的表示永恆的愛，許多現代的珠寶就在其造型中加入無限的符號。

Crypton Future Media 的角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。

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