反演

反演是種幾何變換。給定點${\displaystyle O}$、常數${\displaystyle k}$，點${\displaystyle P}$的變換對應點就是在以${\displaystyle O}$開始的射線${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$上的一點${\displaystyle P'}$使得${\displaystyle {\overline {OP}}\cdot {\overline {OP'}}=k^{2}}$。

反演的結果：

• 過${\displaystyle O}$的直線：直線
• 過${\displaystyle O}$的圓：不過${\displaystyle O}$的直線
• 不過${\displaystyle O}$的圓：圓
• 過${\displaystyle O}$的球：不過${\displaystyle O}$的平面

對於點${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$，以原點為中心，在直角坐標系的反演變換可寫成

${\displaystyle x_{i}\rightarrow {\frac {k^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}}$

以下都可視為反演：

• 立體投影法：可以取球面上任意一點為中心，球的直徑為${\displaystyle k}$。
• 共軸圓：在平面取一系列共心圓，取一系列經過共心圓圓心的線，任意取一點為中心進行反演。

阿波罗尼奥斯圆是其中一個可用反演變換輕易解決的問題。在平面給定三個圓，求作出與三圓相切的第四個圓。

• 反射
• 旋转
• 平移
• 点反演
• 缩放