Tam sayı

İlk Türkçe tam sayı teriminin kullanımlarından biri 1955'e dayanır.^[6]

Tarih boyunca tam sayı terimi, 1'in katları olan sayılar için^[7][8] veya tam sayılı kesirlerin tam kısımlarını ifade etmek için kullanılmıştır.^[9][10] Başlangıçta yalnızca pozitif tam sayılar ele alınmış ve bu durum, terimin doğal sayılarla eşanlamlı hale gelmesine yol açmıştır. Tam sayı kavramının tanımı, negatif sayıların faydasının zamanla kabul edilmesiyle genişletilmiş ve bu sayılar da tanımın içine dahil edilmiştir.^[11] Örneğin, Leonhard Euler, 1765 tarihli Cebirin Unsurları adlı çalışmasında tam sayıları, hem pozitif hem de negatif sayıları içerecek biçimde tanımlamıştır.^[12] Bununla birlikte, Avrupalı matematikçilerin büyük bir kısmı 19. yüzyılın ortalarına kadar negatif sayılar konseptine karşı direnç göstermiştir.^[11]

Tam sayılar kümesini temsil etmek üzere 'Z' harfinin tercih edilmesi, Almancada "sayılar" anlamına gelen Zahlen kelimesinden kaynaklanmaktadır^[3][4] ve bu bağlamda David Hilbert ile ilişkilendirilir.^[13] Bu notasyonun ders kitaplarında ilk defa kullanıldığı bilinen örnek, 1947 yılında Nicolas Bourbaki grubu tarafından kaleme alınan Algébre isimli eserde yer almaktadır.^[3][14] Notasyonun benimsenmesi hemen gerçekleşmemiştir; mesela, bir başka ders kitabında 'J' harfi kullanılmış^[15] ve 1960 yılında yayımlanan bir makalede 'Z', yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları ifade etmek amacıyla tercih edilmiştir.^[16] Ancak 1961 itibarıyla, modern cebir metinleri genel olarak 'Z' harfini, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsayacak şekilde kullanmaya başlamışlardır.^[17]

${\displaystyle \mathbb {Z} }$  sembolü, çeşitli kümeleri tanımlamak amacıyla farklı yazarların tercihlerine göre değişken notasyonlar ile sıklıkla sembolize edilir: Pozitif tam sayılar için ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ , ${\displaystyle \mathbb {Z} +}$  veya ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$  kullanılırken, sıfır ve pozitif tam sayılar için ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$  veya ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$  ve sıfır olmayan tam sayılar için ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$  tercih edilir. Bazı yazarlar, sıfır olmayan tam sayılar için ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$  kullanırken diğerleri bu notasyonu sıfır ve pozitif tam sayılar için veya ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 'nin birimler grubunu (İng. unit (ring theory)) ifade eden {–1, 1} için kullanmaktadır. Ek olarak, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  notasyonu, ya modüler p tam sayılarını (yani, tam sayıların denklik sınıflarını) ya da p-adik tam sayılarını tanımlamak için kullanılır.^[18][19]

1950'lerin başlarına dek, bütün sayılar ile tam sayılar arasında bir eşanlamlılık söz konusuydu.^[20][21][22] 1950'lerin sonlarına doğru, New Math hareketinin bir unsuru olarak,^[23] Amerikan ilkokul öğretmenleri "bütün sayılar" (İng. whole numbers) teriminin, negatif sayıları dışlayarak yalnızca doğal sayıları kapsadığını, "tam sayı" teriminin ise negatif sayıları da içerecek şekilde genişletildiğini derslerinde işlemeye başladılar.^[24][25] "Bütün sayı" kavramı (İng. whole numbers), günümüzde hala belirsizliğini sürdürmektedir.^[26]

 

Doğal sayılar kümesi gibi, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesi de toplama ve çarpma gibi ikili işlemler bakımından kapalı bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle 0'ın dahil edilmesi ile ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , doğal sayılar kümesinden farklı olarak, çıkarma işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.^[27]

Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir halka homomorfizmasının (İng. ring homomorphism) tesis edilebildiği, temel bir birimli halka olarak işlev görür. Bu evrensel özellik (İng. universal property), özgül olarak halkaların kategorisi içerisinde bir başlangıç objesi (İng. initial object) olarak tanımlanabilirlik, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  halkasının ayırt edici niteliğini belirler.

${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, bölme işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, üs alma işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.

Aşağıdaki tablo, herhangi bir a, b ve c tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:

Toplama işlemi çerçevesinde, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir abelyen grup olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir 1 + 1 + ... + 1 veya (−1) + (−1) + ... + (−1) şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir devirli grup özelliği taşır (İng. cyclic group). Gerçekte, toplama işlemi altında ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , herhangi bir sonsuz devirli grubun, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ile eşyapı grubu olduğu bağlamda, tek sonsuz devirli gruptur.

Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin çarpma altında bir değişmeli monoid yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.

Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin, birimli değişmeli halka olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer cebirsel yapılara ait nesnelerin ilk örneğidir. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen eşitlikler ve ifadeler geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tam sayılar, çeşitli halkalarda sıfır değerine karşılık gelir.

Tam sayılar kümesinde sıfır bölensizlerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 'nin, bir tamlık bölgesi olarak nitelendirilebileceğini gösterir.

Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 'nin bir alan olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir althalka olarak barındıran en küçük alan yapı, rasyonel sayılar alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için kesirler cisminin (İng. field of fractions) oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir cebirsel sayı alanından (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesini de barındıran tam sayılar halkası (İng. ring of integers) elde edilebilir.

Her ne kadar ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, Öklid bölmesi adı verilir ve şu kritik özelliği taşır: b ≠ 0 koşulunu sağlayan herhangi a ve b tam sayı çifti için, a = q × b + r ve 0 ≤ r < |b| ilişkilerini sağlayan benzersiz q ve r tams ayıları mevcuttur; burada |b|, b sayısının mutlak değerini ifade eder. Bu bağlamda, q tam sayısı bölüm, r ise a ile b'nin bölünmesi sonucu elde edilen kalan olarak isimlendirilir. En büyük ortak bölenlerin belirlenmesi sürecinde kullanılan Öklid algoritması, ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.

İlgili metin, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin bir Öklid bölgesi (İng. Euclidean domain) olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 'nin bir esas ideal bölgesi (İng. principal ideal domain) olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, asal sayıların çarpımı şeklinde özünde benzersiz (İng. essentially unique) bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder.^[28] Bu durum, aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir.

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , herhangi bir tam sıralama özelliği gösteren, fakat ne üst ne de alt sınır içeren bir kümedir. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Bir tam sayının sıfır değerinden büyük olması durumunda pozitif, sıfırdan küçük olması durumunda ise negatif olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.

Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:

a < b ve c < d olduğunda, a + c < b + d sonucu elde edilir. a < b ve 0 < c olduğunda, ac < bc eşitsizliği geçerlidir.

Bunun sonucu olarak, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir sıralı halka yapısını oluşturur.

Tam sayılar, pozitif elemanları iyi sıralı olan tek ciddi tam sıralı Abel grubudur.^[29] Bu, herhangi bir Noetherian halka değerleme halkasına (İng. valuation ring) ya bir cisim—ya da ayrık değerleme halkası (İng. discrete valuation ring) olduğu ifadesine eşdeğerdir.

Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, sıfır ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir:^[30] başlangıçta, Peano aksiyomları temel alınarak ${\displaystyle N}$  doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, ${\displaystyle N}$  kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve ${\displaystyle N}$  kümesinden ayrık bir ${\displaystyle N^{-}}$  kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, ${\displaystyle N^{-}}$  kümesi için, örneğin, ${\displaystyle \psi }$  eşlemesi ${\displaystyle n\mapsto (1,n)}$  olacak şekilde ${\displaystyle (1,n)}$  formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne ${\displaystyle N}$  kümesinde ne de ${\displaystyle N^{-}}$  kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin ${\displaystyle (0,0)}$  sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, ${\displaystyle N\cup N^{-}\cup {0}}$  birleşimi ile tanımlanmış olur.

Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, parçalı fonksiyonlar yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, negasyon işlemi şu şekilde ifade edilir: $${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{eğer }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{eğer }}x\in P^{-}\\0,&{\text{eğer }}x=0\end{cases}}}$$ 

Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.^[31]

 

Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir.^[32][33][34] Bu bağlamda, tam sayılar, doğal sayılardan oluşturulan sıralı ikili çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir (a,b).^[35]

Sezgisel olarak, (a,b) ifadesi, b'nin a'dan çıkarılması sonucunu temsil eder.^[35] 1 − 2 ile 4 − 5 gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir denklik ilişkisi ~ tanımlamaktayız:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ 

yalnızca ve yalnızca

${\displaystyle a+d=b+c.}$ 

Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir;^[35] [(a,b)] gösterimi, içerisinde (a,b) ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$ 

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$ 

Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$ 

Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$ 

Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$  ancak ve ancak ${\displaystyle a+d<b+c.}$ 

Bu tanımlamaların, denklik sınıflarının temsilcilerinin seçimiyle ilgisiz olduğu kolaylıkla ispatlanabilir.

Her bir denklik sınıfı, (n,0) veya (0,n) (veya her iki durum için de) formunda özgün bir elemana sahiptir. Doğal sayı n, [(n,0)] sınıfıyla özdeşleştirilmekte (yani doğal sayılar, n'yi [(n,0)]'ye eşleyen bir fonksiyon aracılığıyla tam sayılara gömülmüştür) ve [(0,n)] sınıfı −n olarak ifade edilir (bu durum, kalan tüm sınıfları kapsar ve [(0,0)] sınıfını −0 = 0 olduğundan yeniden tanımlar).

Dolayısıyla, [(a,b)] gösterimi aşağıdaki gibi ifade edilir:

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{eğer }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{eğer }}a<b.\end{cases}}}$ 

Doğal sayıların, karşılık gelen tam sayılarla özdeşleştirilmesi durumunda (önceden bahsi geçen gömme metodu kullanılarak), bu gösterim yöntemi herhangi bir karmaşıklığa yol açmaz.

Bu gösterim yöntemi, tam sayıların {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} şeklindeki alışılagelmiş temsiline geri dönüş sağlar.

Örneklerden bazıları şu şekildedir:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$ 

Teorik bilgisayar biliminde, tam sayıların inşası için otomatik teorem kanıtlama ve terim yeniden yazım motorları tarafından kullanılan diğer yaklaşımlar mevcuttur. Tam sayılar, birkaç temel işlem (örneğin, sıfır, bir sonraki, bir önceki) kullanılarak ve muhtemelen, zaten inşa edilmiş olduğu varsayılan doğal sayılar kullanılarak oluşturulan cebirsel terimler (İng. term algebra) olarak temsil edilir (örneğin, Peano yaklaşımı kullanılarak).

İşaretli tam sayıların oluşturulması amacıyla, en azından on farklı yöntem mevcuttur.^[36] Bu yapılar, çeşitli parametrelere göre ayrışır: Yapıyı gerçekleştirmek amacıyla başvurulan temel işlemlerin adedi, bu işlemlerin kabul ettiği argümanların sayısı ve nitelikleri (çoğunlukla 0 ile 2 arasında değişir); belirli işlemler için doğal sayıların argüman olarak kullanılıp kullanılmadığı ve işlemlerin serbest yapılandırıcı olup olmadığı, yani bir tam sayının tek veya birden çok cebirsel ifadeyle ifade edilebilirliği.

Bir önceki bölümde tanıtılan tam sayıların inşası yöntemi, iki doğal sayıyı argüman olarak alan ve sonucunda bir tam sayı (bu durumda x-y'ye eşit) veren tekil bir temel işlem olan çift${\displaystyle (x,y)}$  işlemine dayanır. Bu işlem serbest nitelikte değildir; zira sıfır tam sayısı, çift(0,0), çift(1,1), çift(2,2) gibi çeşitli şekillerde ifade edilebilir. Bu inşa metodolojisi, ispat yardımcısı Isabelle yazılımı tarafından benimsenmiş olup; ancak, serbest yapılandırıcıları temel alan ve bilgisayar ortamlarında daha etkin bir şekilde implemente edilebilecek daha sade alternatif inşa teknikleri de mevcuttur.

Tam sayı, sıkça bilgisayar dililerindeki primitif bir veri tipidir. Ancak, tam sayı veri tipleri, pratik bilgisayarların sonlu kapasitesi nedeniyle tüm tam sayıların bir alt kümesini temsil edebilirler. Ayrıca, yaygın ikinin tümleyeni gösteriminde, işaretin içsel tanımı "negatif" ve "negatif olmayan" arasında ayrım yapar, "negatif, pozitif ve 0" değil. (Bununla birlikte, bir bilgisayarın bir tam sayı değerinin gerçekten pozitif olup olmadığını belirlemesi kesinlikle mümkündür.) Sabit uzunluklu tam sayı yaklaşım veri tipleri (veya alt kümeleri), birkaç programlama dilinde int veya Integer olarak adlandırılır (ALGOL 68, C, Java, Delphi, vb.).

Tam sayıların değişken uzunluklu temsilleri, bilgisayarın belleğine sığan herhangi bir tam sayıyı depolayabilir. Diğer tam sayı veri tipleri ise genellikle 2'nin bir kuvveti olan bir bit sayısı (4, 8, 16, vb.) veya akılda kalıcı bir ondalık basamak sayısı (örneğin, 9 veya 10) ile sabit bir boyutta uygulanır.

Tam sayılar kümesi sayılabilir sonsuzdur, bu da her tam sayının benzersiz bir doğal sayı ile eşleştirilebileceği anlamına gelir. Böyle bir eşleştirmenin bir örneği şöyledir:

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . , (1 − k, 2k − 1), (k, 2k ), . . .

Daha teknik bir ifadeyle, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kardinalitesinin ℵ₀ (alef-sıfır) ile eşit olduğu söylenir. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ve ${\displaystyle \mathbb {N} }$  elemanları arasındaki bu eşleştirme, bir bijection olarak adlandırılır.