Teorema ni Pitagoras

Heometriya
Pagproyekt ng isang espera sa isang plano
Mga sanay Euclidean Non-Euclidean Elliptic Spherical Hyperbolic Non-Archimedean geometry Projective Affine Synthetic Analitiko Alhebraiko Arithmetic Diophantine Deribatibo Riemanniano Symplectic Discrete differential Complex Finite Natatangi Digital Convex Computational Fractal Incidence Noncommutative geometry Noncommutative algebraic geometry
Mga konsepto Mga katangian Dimensiyon Straightedge and compass constructions Anggulo Kurba Diagonal Ortogonalidad (Perpendikular) Paralelo Vertex Congruence Similarity Symmetry
Serong dimensiyonal Punto
Isang dimensiyonal Guhit Segmento Rayos Haba
Dalawang dimensiyonal Plano Sukat Poligon Tatsulok Altitude Gilis Teorema ni Pitagoras Paralelogram Parisukat Parihaba Rombus Romboide Kuwadrilateral Trapesoid Kite Bilog Diyametro Sirkumperensiya Area
Tatlong dimensiyonal Volyum Kubo Kuboide Silindro Dodecahedron Icosahedron Octahedron Piramide Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Apat- / ibang-dimensiyonal Tesseract Hypersphere
Mga heometra
ayon sa pangalan Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Arkimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang
ayon sa panahon BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Present day Atiyah Gromov
t u b

Sa sipnayan, ang teorema ni Pitagoras (Kastila: teorema de Pitágoras, Ingles: Pythagorean theorem) ay isang pangunahing relasyon sa heometriyang Euclidyana ng tatlong gilid ng isang tatsulok na may sihang tadlong. Sinasabi nito na ang parirami ng gilis (ang gilid katapat ng sihang tadlong) ay katumbas ng kabuuan ng parirami ng natitirang dalawang gilid. Maaaring sulatin ang teorema bilang isang ekwasyon na nag-uugnay ng mga haba ng gilid na nag-uugnay ng mga haba ng panig na a, b and c na kadalasang tinatawag na "Ekwasyong Pitagoriko":^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

kung saan kumakatwan ang "c" sa haba ng gilis at ang "a" at "b" sa mga haba ng natitirang dalawang gilid.

Kahit madalas na pinagtatalunan na may kaalaman na sa teorema bago si Pitagoras,^[2][3] ipinangalan ang teorema kay Pitagoras (s. 570–495 BK), isang dalubbilang sa sinaunang Gresya, dahil siya, ayon sa tradisyon, ang ipinalagay na may pinakaunang patibay, ngunit wala itong ebidensya.^[4][5][6] May kaunting ebidensya na naintindihan ng mga Babilonyang dalubbilang ang pormula, ngunit halos walang nagpapahiwatig ng paggamit sa isang balangkas-sipnayan.^[7][8] Nadiskubre nang magkahiwalay ng mga Mesopotamyang, Indiyanong and Tsinong dalubbilang, at, sa mga ibang pagkakataon, ay nagbigay ng patibay para sa mga kasong espesyal.

Nabigyan ang teorema ng mararaming patibay, marahil na ang pinakamarami para sa anumang teoremang matematiko. Iba't iba ang mga ito, kabilang ang heometrikong patibay at alhebraikong patibay, ilan na pinetsahang libu-libong taon na ang nakalilipas. Maaaring heneralisahin ang teorema sa iba't ibang paraan, kasama na ang mga espasyo na may mas mataas na sukod, mga espasyong di-Euclidyano, sa mga bagay na hindi tatsihang tadlong, at sa katunayan, sa mga bagay na hindi tatsulok talaga, pero mga solido na may n na sukod. Nakaakit ang teoremang Pitagoras ng interes sa labas ng sipnayan bilang simbolo ng sipnayaning kalabuan, kahiwagaan, o kapangyarihang intelektuwal; managana ang mga pagtukoy nito sa panitikan, mga dula, mga musikal, mga kanta, mga selyo, at guhit-larawan.

Naglalaman ang dalawang malaking parisukat na ipinapakita sa pigura ng tig-apat na magkakaparehong tatsulok, at ang pagkakaiba lamang ng dalawang malaking parisukat ay magkaiba ang pagsasaayos ng mga tatsulok. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang sukat ng mga puting puwang sa loob ng dalawang parisukat. Nagbubunga ang pag-ekweyt ng sukat ng puting puwang ng teorema ni Pitagoras, Q.E.D.^[9]

Ibinibigay ni Heath ang patibay na ito sa kanyang komentaryo sa Proposition I.47 sa Mga Elemento ni Euclid, at ibinabangit ang mga panukala ni Bretschneider at Hankel na posibleng naunawaan ni Pitagoras ang patibay na ito. Mas gusto ni Heath mismo ang ibang panukala para sa Pitagorikong katibayan, pero inaamin sa umpisa pa lamang ng pagtatalakay na "Hindi naglalaman ang Griyegong panitikan na inaarian natin na nagmumula sa unang limang siglo pagkatapos ni Pitagoras ng pahayag na nagbabanggit dito o anumang dakilang heometrikong pagkatuklas mula sa kanya."^[10] Lumalaki ang pagdududa ng kamakailang iskolarsip sa anumang papel ni Pitagoras bilang manlilikha ng sipnayan, ngunit tuloy pa rin ang pakikipagtalo tungkol dito.^[11]

Kapag tumutukoy ang c sa haba ng gilis at tumutukoy ang a at b sa haba ng dalawa pang panig, maaaring ipahayag ang teorema ni Pitagoras bilang ang ekwasyong Pitagoriko:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Kapag alam ang haba ng a at b, maaaring ikalkula ang c bilang

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Kapag alam ang gilis ng c at ng isang panig (a o b), maaaring ikalkula ang haba ng isa pang panig bilang

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

o

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

Iniuugnay ng ekwasyong Pitagoriko ang mga panig ng sihang tadlong sa simpleng paraan, kaya kung alam ang haba ng anumang dalawang panig, maaaring hanapin ang haba ng ikatlong panig. Isa pang koralariya ng teorema ay sa anumang sihang tadlong, mas malaki ang gilis kaysa sa isa sa mga iba pang panig, pero mas maliit kaysa sa kanilang kabuuan.

Isang heneralisasyon ng teoremang ito ang batas ng kasinway na nagpapahintulot ng komputasyon ng haba ng anumang panig ng anumang tatsulok, basta nandoon ang haba ng dalawa pang panig at ang anggulo sa gitna nila. Kapag sihang tadlong ang anggulo sa gitna ng iba pang panig, pumapayak ang batas ng kasinway para maging ekwasyong Pitagoriko.

Posible na ang teoremang ito ay mas maraming kilalang katibayan kaysa sa iba (ang batas ng dawaking resiprosidad ay isa pang kalaban para sa karangalan); naglalaman ang aklat na The Pythagorean Proposition ng 370 katibayan.^[12]

Nakabatay ang pruwebang ito sa pagkaproporsyonado ng mga panig ng dalawang magkahawig na tatsulok, iyon ay, magkatumbas ang ratio ng anumang dalawang naaayong panig ng magkahawig na tatsulok anuman ang laki ng mga tatsulok.

Ipalagay na kumakatawan ang ABC sa tatsihang tadlong kung saan matatagpuan ang sihang tadlong sa C, tulad ng ipinapakita sa larawan. Ilarawan ang tayog mula sa punto C, at tawagin ang H bilang kanyang sagandaan kasama ang panig AB. Hinahati ng punto H ang haba ng gilis c sa mga bahaging d at e. Magkahawig ang bagong tatsulok ACH sa tatsulok ABC, dahil may mga sihang tadlong sila (ayon sa kahulugan ng tayog), and nakikibahagi sila ng anggulo sa A, ibig sabihin na parehas din ang ikatlong anggulo sa dalawang tatsulok na iminamarka ng θ sa pigura. Sa katulad na pangangatuwiran, magkahawig din ang tatsulok CBH sa ABC. Kinakailangan ng katibayan ng pagkakahawig ng tatsulok ang saligang tatsulok: ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay dalawang sihang tadlong, at magkatumbas ito sa saligang agapay. Humahantong ang pagkakahawig ng mga tatsulok sa katumbasan ng mga ratio ng mga naaayon na panig:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ at }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

Pinapatumbas ng unang resulta ang kasinway ng mga anggulong θ, samantalang pinapatumbas ng ikalawang resulta ang kanilang sinway.

Maaaring isulat ang mga ratio bilang

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ at }}AC^{2}=AB\times AH.}$

Nagreresulta ang pagdaragdag ng dalawang katumbasang ito sa

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}$

na, pagkatapos ng pagpapayak, ay ipinapahayag ang teorema ni Pitagoras:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}$

Sa isang balangkas, narito kung paano ang pruweba sa Mga Elemento ni Euclid. Hinahati ang malaking parisukat sa isang kaliwa at isang kanang parisukat. Nabubuo ang isang tatsulok na may kalahating dawak ng kaliwang parihaba. Pagkatapos, may nabubuong tatsulok na may kalahating dawak ng parisukat sa kaliwang banda. Ipinapakita na magkalapat ang dalawang tatsulok na nagpapatunay na parehas ang dawak ng parisukat sa dawak ng kaliwang parihaba.Sumusunod sa argumentong ito ang isang magkatulad na bersyon para sa kanang parihaba at sa natitirang parisukat. Kapag isinama ang dalawang parihaba para ibuo muli ang parisukat sa gilis, parehas ang kanyang dawak sa kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat. Sumusunod ang mga detalye.

Ipalagay na A, B, C ang mga bagtasan ng sihang tadlong na may sihang tadlong sa A. Maglagay ng perpendikular mula A hanggang sa panig katapat ng gilis sa parisukat sa gilis. Ang linyang iyon ay naghahati sa parisukat sa gilis para maging dalawang parihaba, bawat isa na may parehong dawak sa isa sa mga dalawang parisukat sa paa.

Para sa pormal na katibayan, kailangan ng apat na elementaryang lemmata:

1. Kapag ang dalawang tatsulok ay may dalawang panig ng isang tatsulok na magkatumbas sa dalawang panig ng isa pang tatsulok, bawat isa, at magkatumbas ang mga anggulo na isinama ng mga panig na iyon, magkalapat ang mga tatsulok (panig-anggulo-panig).
2. Ang dawak ng isang tatsulok ay kalahati ng dawak ng anumang paralelogram na nasa parehas na base at magkapareho ang tayog.
3. Ang dawak ng parihaba ay magkatumbas sa produkto ng dalawang magkatabing panig.
4. Ang dawak ng isang parisukat ay magkatumbas sa produkto ng kanyang dalawang panig (sumusunod mula sa 3).

Pagkatapos, kaugnay ang bawat tuktok na parisukat sa isang tatsulok na magkalapat sa isa pang tatsulok na kaugnay naman sa isa sa dalawang parihaba na nagbubuo ng parisukat sa ibaba.^[13]

Sumusunod ang katibayan:

1. Ipalagay na ACB ay isang tatsulok na may sihang tadlong na CAB.
2. Sa bawat panig na BC, AB, at CA, gumuhit ng mga parisukat, CBDE, BAGF, at ACIH, sa ganoong pagkaayos. Kinakailangan ng pagbuo ng mga parisukat ang mga nakaraang teorema sa Euclid, at nakadepende sa batayang palagay ng pagkaagapay.^[14]
3. Mula sa A, gumuhit ng linyang agapay sa BD at CE. Tadlong ang pagbatas nito sa BC at DE sa K at L, ayon sa pagkabanggit.
4. Pagsamahin ang CF at AD upang ibuo ang mga tatsulok na BCF at BDA.
5. Kapwa sihang tadlong ang sihang CAB at BAG; samakatuwid kaguhit ang C, A, at G. Ganito rin para sa B, A, at H.
6. Kapwa sihang tadlong ang sihang CBD at FBA; samakatuwid magkatumbas ang sihang ABD at sihang FBC, dahil kapwa kabuuan ang dalawa ng tadlong sihang at sihang ABC.
7. Dahil magkatumbas ang AB sa FB, at magkatumbas ang BD sa BC, sa gayon dapat magkalapat ang tatsulok na ABD sa tatsulok na FBC.
8. Dahil tuwid na linya ang A-K-L na agapay sa BD, doble ang dawak ng parihabang BDLK ng tatsulok na ABD dahil parehong BD ang kani-kanilang base, at magkapareho ang kanilang tayog na BK, ibig sabihin na isang linyang pareho sa kanilang magkaparehong base na kumokonekta sa mga agapayang linyang BD at AL. (ika-2 lemmata)
9. Dahil kaguhit ang C sa A at G, dapat doble ang dawak ng parisukat na BAGF sa tatsulok na FBC.
10. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang dawak ng tatsulok BAGF = AB².
11. Katulad nito, maaaring ipakita na dapat magkatumbas ang dawak ng parihabang CKLE at ang parisukat ACIH = AC².
12. Kapag ipinagsama ang dalawang resulta, AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
13. Dahil BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. Samakatuwid, AB² + AC² = BC², dahil parisukat ang CBDE.

Pinapatunayan ng katibayang ito na mahahanap sa Mga Elemento ni Euclid sa Panukalang 47 sa Ika-1 Aklat,^[15] na ang dawak ng parisukat sa gilis ay ang kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat.^[16]

Kakaiba ito sa katibayan gamit ang magkahawig na tatsulok na ipinapalagay ay ang katibayan na ginamit ni Pitagoras.^[17][18]

Napag-usapan na natin ang katibayang Pitagoriko na isang katibayan sa pagbabago ng ayos. Ipinapayahag ang parehong ideya sa pinakakaliwang animasyon sa ibaba na binubuo ng isang malaking parisukat, panig a + b, na naglalaman ng apat na magkaparehong sihang tadlong. Ipinapakita ang mga tatsulok sa dalawang pagsasaayos, ang una kung saan hindi natatakip ang dalawang parisukat na a² at b², at ang ikalawa kung saan hindi nakatakip ang parisukat na c² . Hindi nagbabago ang dawak ng panlabas na parisukat, at magkapareho ang dawak ng apat na tatsulok sa simula at sa huli, kaya dapat magkatumbas ang mga dawak ng mga itim na parisukat, samakatuwid a² + b² = c².

Ibinibigay ng gitnang animasyon ang ikalawang katibayan sa pagbabago ng ayos. Nabubuo ang isang malaking parisukat na may dawak na c² mula apat na magkaparehong tadlong sihang na may panig na a, b at c, na kinasya sa isang maliit na parisukat sa gitna. Pagkatapos, nabubuo ang dalawang parihaba na may panig na a at b sa pamamagitan ng paggalaw ng mga tatsulok. Kapag pinagsama ang mas maliit na parisukat sa mga parihaba, nabubuo ang dalawang parisukat na may dawak na a² at b², na may parehong dawak dapat sa unang malaking parisukat.^[19]

Mayroon ding katibayan ang ikaltong pinakakanang larawan. Nakahati ang mga dalawang parisukat sa itaas tulad ng ipinakita ng mga kulay bughaw at luntian na maaaring ikasya sa parisukat sa ibaba sa gilis – o pasalungat nito maaaring hatiin ang malaking parisuat tulad ng ipinapakita sa mga piraso na nagpupuno ng dalawa pang parisukat. Tinatawag na panisnisan ang ganitong paraan ng paghati sa isang pigura sa mga piraso at ayusin muli para matamo ang isa pang pigura. Ipinapakita nito na magkatumbas ang dawak ng malaking parisukat sa dawak ng dalawang mas maliit na parisukat.^[20]