Sono i numeri corrispondenti a lunghezze di segmenti che si possono tracciare con riga e compasso, fissata un’unità, secondo i canoni della geometria greca.
Sono chiamati anche “numeri di Euclide” o “numeri euclidei”.
La caratterizzazione completa si deve a Pierre-Laurent Wantzel (Parigi, 5/6/1814 – Parigi, 21/5/1848), che nel 1837 dimostrò che sono tutti e soli i numeri che si possono esprimere con una combinazione finita delle quattro operazioni e dell’estrazione di radice quadrata, a partire da numeri interi, pertanto sono tutti algebrici, di grado 2n e quindi includono i numeri razionali. I numeri costruibili sono però solo un sottoinsieme dei numeri algebrici di grado 2n.
Lorenzo Mascheroni (Bergamo, 13/5/1750 – Parigi, 14/7/1800) dimostrò nel 1797 (Geometria del compasso, con dedica in versi a Napoleone, Pavia 1797) che ogni costruzione fattibile con riga e compasso può anche essere effettuata col solo compasso (tranne tracciare una riga).
Per riconoscere i giusti meriti, va precisato che le stesse conclusioni erano state raggiunte nel 1672 dal poco noto matematico danese Georg Mohr (Copenhagen, 1/4/1640 – Kieslingswalde, 26/1/1697), ma il suo libro Euclides danicus fu completamente dimenticato (ci si chiede se mai ne fu venduta una copia!) e scoperto per caso nel 1928 dal danese J. Hjelmslev, in un negozio di libri usati. Il merito della scoperta fu quindi attribuito a Mascheroni e anche oggi l’opera di Mohr è spesso ignorata nelle bibliografie.
Nel 1673 lo sfortunato Mohr aveva pubblicato un libretto di 24 pagine, Compendium Euclidis Curiosi: il più completo trattato dall’antichità sull’uso del compasso ad apertura fissa (detto anche “compasso arrugginito”), ma nonostante una traduzione inglese, quattro anni dopo, per opera dell’idrografo reale Joseph Moxon (1627 – 1700), la sua opera fu completamente ignorata.
Solo nel XIX secolo Jacob Steiner (Utzendorf, 18/3/1796 – Berna, 1/1/1863), sviluppando un’idea di Jean Victor Poncelet (Metz, 1/7/1788 – Parigi, 22/12/1867) dimostrò rigorosamente che con riga e compasso fisso si possono ottenere tutte le costruzioni ottenibili con riga e compasso normale (tranne naturalmente tracciare un cerchio di raggio arbitrario). Steiner dimostrò che il compasso poteva essere sostituito da un unico cerchio, insieme col suo centro, disegnato dovunque sul piano e all’inizio del XX secolo venne dimostrato che tale cerchio poteva ridursi a un arco, piccolo a piacere, o essere sostituito da due cerchi che s’intersecano, anche senza centri noti, o da tre cerchi disgiunti, sempre senza centri noti.
Si può anche dimostrare che un intero cerchio privo del centro e persino due cerchi non intersecantisi non bastano, se il loro centro è ignoto, per effettuare le costruzioni classiche con la sola riga; le dimostrazioni, basate su un’ingegnosa proiezione dei cerchi con coni obliqui, possono essere trovate in The Enjoyment of Mathematics (v. bibliografia).
Thomas Rayner Dawson (Leeds, 28/11/1889 – Londra, 16/12/1951), famoso per i suoi problemi di scacchi, dimostrò un teorema apparentemente semplice, ma di notevole importanza teorica: ogni costruzione possibile con riga e compasso può anche essere costruita con fiammiferi, intesi come segmenti mobili identici. Per esempio, la costruzione di Dawson per la bisezione dell’angolo è mostrata nella figura seguente.
Si inizia costruendo un triangolo isoscele ABC sul segmento AB da bisecare, poi si costruiscono i triangoli equilateri BCD e AEC. Disponendo un fiammifero con un estremo in C e passante per F, intersezione dei lati BD e AE, tale fiammifero biseca il segmento. Solo 7 fiammiferi per questa elegante costruzione, che tra l’altro può anche servire per bisecare l’angolo ACB.
Se il segmento da bisecare è più lungo del doppio di un fiammifero, si utilizzano altri fiammiferi come unità di misura, disponendoli adiacenti a partire dagli estremi, in modo da identificare un segmento centrale abbastanza corto da poter usare il metodo sopra descritto per bisecarlo.
Con i fiammiferi le operazioni fondamentali sono: disporne uno con gli estremi in un punto dato e lungo un altro fiammifero o passante per un altro punto e costruire un triangolo isoscele, dato un lato.
Queste restrizioni fanno sì che non sia lecita qualsiasi figura che possa essere disegnata con segmenti identici. Per esempio, esiste una famosa costruzione dell’ettagono regolare, pubblicata da C. Johnson (Mathematical Gazette, 1975), mostrata nella figura seguente.
Se A, B C e D sono allineati, l’angolo in A è . La costruzione non è però possibile rispettando i vincoli elencati sopra e l’ettagono regolare resta impossibile da costruire con i fiammiferi, come con riga e compasso.
La costruzione si può generalizzare, aumentando il numero di coppie di fiammiferi che si incrociano, in modo da costruire un angolo per qualsiasi valore dispari di n, ma sempre violando i vincoli.
Se al posto di fiammiferi si utilizzano aste rigide di uguale lunghezza incernierate agli estremi, si ottiene uno strumento per disegnare poligoni con un numero dispari di lati: per esempio, nel caso dell’ettagono basta disporre lo strumento facendo coincidere A col centro del poligono desiderato, poi muoverlo in modo da allineare i punti A, B, C e D e l’asta DE darà il lato desiderato.
Gauss dimostrò che con riga e compasso sono costruibili tutti e soli i lati dei poligoni regolari di 2nk lati, dove n è un numero naturale, anche nullo, e k è il prodotto di qualsiasi combinazione primi di Fermat differenti e nel 1837 Wantzel dimostrò che questi sono gli unici poligoni regolari costruibili.
La costruzione esplicita del 17-agono regolare fu pubblicata da Ulrich von Huguenin nel 1803; quella del 257-agono da Magnus Geor Paucker (Simuna, Estonia, 26/11/1787 – Jelgava, Lettonia, 31/8/1855) nel 1822 e da Friedrich Julius Richelot (Königsberg, Prussia, oggi Kaliningrad, Russia, 6/11/1908 – Königsberg, 31/3/1875) nel 1832 (in latino); quella del 65535-agono nel 1894 da Johann Gustav Hermes (Königsberg, Prussia, oggi Kaliningrad, Russia, 20/6/1846 – Bad Oeynhausen, Germania, 8/6/1912), dopo 10 anni di lavoro.
Nel 1826 Abel estese il teorema di Gauss alla lemniscata, dimostrando che la si può dividere in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per primi di Fermat distinti.
Il lato di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio unitario è .
La tabella seguente riporta le lunghezze dei lati dei poligoni regolari costruibili, inscritti in una circonferenza di raggio unitario, sino a 24 lati.
|
n |
Lato |
Valore approssimato |
|
3 |
|
1.7320508076 |
|
4 |
|
1.4142135624 |
|
5 |
|
1.1755705046 |
|
6 |
1 |
1 |
|
7 |
Non costruibile |
0.8677674782 |
|
8 |
|
0.7653668647 |
|
9 |
Non costruibile |
0.6840402867 |
|
10 |
|
0.6180339887 |
|
11 |
Non costruibile |
0.5634651137 |
|
12 |
|
0.5176380902 |
|
13 |
Non costruibile |
0.4786313286 |
|
14 |
Non costruibile |
0.4450418679 |
|
15 |
|
0.4158233816 |
|
16 |
|
0.3901806440 |
|
17 |
|
0.3674990356 |
|
18 |
Non costruibile |
0.3472963553 |
|
19 |
Non costruibile |
0.3291891806 |
|
20 |
|
0.3128689301 |
|
21 |
Non costruibile |
0.2980845324 |
|
22 |
Non costruibile |
0.2846296765 |
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23 |
Non costruibile |
0.2723332982 |
|
24 |
|
0.2610523844 |
I numeri di lati dei poligoni costruibili fino a 1000 sono: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960.
Qui trovate i numeri di lati dei poligoni costruibili fino a 1018.
I seguenti quattro problemi classici non possono essere risolti con riga e compasso, perché equivalgono a costruire segmenti con lunghezze espresse da numeri non costruibili:
-
rettificare una circonferenza equivale a costruire un segmento di lunghezza п, trascendente;
-
quadrare un cerchio equivale a costruire un segmento di lunghezza
, trascendente;
-
duplicare un cubo equivale a costruire un segmento di lunghezza
, algebrico di grado 3 (v. costante di Delo);
-
trisecare un angolo equivale a costruire un segmento di lunghezza algebrica di grado 3.
Riga e compasso non sono però gli unici strumenti disponibili; servendosi di altri strumenti, relativamente semplici, è possibile ampliare l’insieme dei numeri costruibili.
In particolare nel caso dell’origami, arte di costruire fantasiose figure piegando un foglio di carta, uno “strumento” consiste nel piegare il foglio, in modo che la piega passi per due punti determinati o in modo da portare due punti su due rette prefissate. Con questa semplice estensione, è possibile estrarre radici cubiche (ossia costruire un segmento di lunghezza uguale alla radice cubica della lunghezza di un altro, fissata un’unità di misura), come dimostrò la matematica italiana Margherita Piazzolla Beloch (Frascati, 17/7/1879 – Roma, 28/9/1976) nel 1936 in due articoli: Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione di problemi geometrici e Sulla risoluzione dei problemi di terzo e quarto grado col metodo del ripiegamento della carta.
In questo modo diventa possibile costruire lunghezze algebriche di grado 2n3m e quindi risolvere gli ultimi due problemi; Beloch stessa dimostrò come costruire un segmento di lunghezza .
Diviene addirittura possibile costruire un ettagono regolare, come dimostrò Benedetto Scimemi nel 1989, e in generale un qualsiasi poligono regolare di 2n3mk lati, dove k è il prodotto di qualsiasi combinazione primi di Pierpont differenti. In particolare sono costruibili tutti i poligoni con un numero di lati sino a 21, tranne l’endecagono.
David A. Cox e Jerry Shurman estesero nel 2005 il teorema dimostrando che potendo trisecare un angolo (e in particolare con l’origami) si può:
-
dividere la lemniscata in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 7 o della forma 4k + 1 (quindi escludendo 19, 163, 487, 1459 e 39367);
-
dividere la curva a trifoglio, descritta in coordinate polari dall’equazione
, (v. primi di Pierpont) in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 5, 17 o della forma 3k + 1, (quindi escludendo 257 e 65537).
Cox e Shurman dimostrarono anche che sorprendentemente con riga e compasso si può dividere in un numero qualsiasi di parti uguali la cardioide, esprimibile in coordinate polari come (v. anche π) e mostrata nella figura seguente.
Bibliografia
- Beloch, Margherita Piazzolla; "Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici" in Periodico di Matematiche, serie 4, vol. 16, 1936, pag. 104 – 108.
- Niven, Ivan; Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
- Odifreddi, Piergiorgio; La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
- Odifreddi, Piergiorgio; Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.
- Pegg, Ed Jr.; Rodgers, Tom; Schoen, Alan H.; Homage to a Pied Puzzler, A.K. Peters, 2009 -
Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.
- Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto; The Enjoyment of Mathematics, New York, Dover, 1960 -
Traduzione di Von Zahlen und Figuren: Proben Mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik, Springer, Berlino 1933, alquanto difficile da trovare.
- Stewart, Ian; I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -
trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013.